توجه : تمامی مطالب این سایت توسط ربات از طریق نتایج گوگل جمع آوری شده و تمامی مطالب عکس ها و لینک های دانلود برای سایت های دیگر است. در صورت مشاهده مطالب مغایر قوانین جمهوری اسلامی ایران یا عدم رضایت مدیر سایت مطالب کپی شده توسط ایدی موجود در بخش تماس با ما بالای سایت یا ساماندهی به ما اطلاع داده تا مطلب و سایت شما کاملا از لیست و سایت حذف شود. به امید ظهور مهدی (ع).

    حاصل تقسیم عدد یک بر هر عدد غیر صفر چیست

    6بازدید

    حاصل تقسیم عدد یک بر هر عدد غیر صفر چیست را از سایت تفریح 98 دریافت کنید.

    بخش بر صفر

    تقسیم عدد صحیح — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

    مرورگر شما از این ویدیو پشتیبانی نمیکنید.

    در ریاضیات، یکی از مفاهیم و عملگر‌های چهار عمل اصلی، تقسیم (Division) است. اغلب برای بخش‌پذیری و بدست آوردن سهم یک شئ از تقسیم عدد صحیح کمک می‌گیریم. برای مثال وقتی می‌خواهیم سیبی را نصف کنیم یا بخشی از پولمان را برای خرید لوازم‌التحریر اختصاص دهیم، از تقسیم کردن استفاده می‌کنیم. در این نوشتار به بررسی نحوه تقسیم عدد صحیح پرداخته و شیوه و روند انجام عملیات تقسیم را فرا می‌گیریم. البته برای آشنایی بیشتر با مفهوم بخش‌پذیری بهتر است ابتدا مطلب بخش پذیری در اعداد — به زبان ساده را بخوانید. همچنین خواندن نوشتار اعداد گویا — به زبان ساده نیز  خالی از لطف نیست.

    روش ارائه شده در این نوشتار، تقسیم عدد صحیح با روش «تقسیم اقلیدسی» (Euclidean Division) است و در آن خارج قسمت و باقی‌مانده هر دو از مجموعه اعداد صحیح خواهند بود. این روش که براساس ضرب و تفاضل‌های تکراری برای تقسیم به کار می‌رود، اغلب برای انجام عمل تقسیم در رایانه‌ها و برنامه‌های محاسباتی ساده به کار گرفته می‌شود. ولی تکنیک‌های دیگر مانند روش نیوتن رافسون برای تقسیم‌های اعشاری کارآمدتر هستند. یکی از قضیه‌های مهم در تقسیم کردن اعداد صحیح، یکتا بودن (Uniqueness) جواب یعنی خارج قسمت و باقی مانده است که پاسخ تقسیم را به روشنی مشخص می‌کنند.

    از کاربردهای مهم تقسیم عدد صحیح، می‌توان عاد کردن یا تعیین تعداد شمارنده‌های یک عدد را در نظر گرفت. در نوشته‌های دیگر فرادرس در مورد تعیین شمارنده و تعداد آن‌ها برای اعداد طبیعی (صحیح) صحبت خواهیم کرد.

    تقسیم عدد صحیح

    برعکس عمل ضرب اعداد، عمل تقسیم کمی پیچیده‌ به نظر می‌رسد. از آنجایی که تقسیم عدد صحیح ساده‌تر است ابتدا روش تقسیم را در این مجموعه جستجو می‌کنیم. در ابتدا اعدادی که مربوط به مجموعه اعداد صحیح هستند را در نظر گرفته و تقسیم کردن اعداد صحیح را مرور می‌کنیم سپس در نوشتارهای بعدی به نحوه تقسیم اعداد حقیقی خواهیم پرداخت.

    همانطور که می‌دانید، اعضای مجموعه اعداد طبیعی به صورت زیر نوشته می‌شوند. نام $$N$$ به علت حرف اولی Natural یا طبیعی برای این مجموعه اعداد در نظر گرفته شده است.

    $$\large N=\{1,2,3,\ldots\}$$

    عدد صفر و مقادیر منفی در این مجموعه اعداد جایی ندارند. این مجموعه برای شمارش اشیائی که در طبیعت وجود دارند، مناسب است به همین دلیل این مجموعه را طبیعی نامیده‌اند.

    از طرفی ممکن است که اعداد، دارای جهت نیز باشند که با علامت مثبت یا منفی مشخص می‌شوند. این مجموعه اعداد را به نام اعداد صحیح می‌شناسیم و با حرف $$Z$$ نشان می‌دهیم. در این حالت داریم:

    $$\large Z=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$$

    همانطور که مشخص است، از هر دو جهت، این مجموعه اعداد، بی‌کران و نامحدود است. معمولا برای نمایش اعداد صحیح از دو بردار جهت دار که در امتداد یکدیگر قرار داشته و در نقطه صفر مشترک هستند استفاده می‌شود.

    حال فرض کنید در مجموعه اعداد طبیعی یا صحیح گام بر‌می‌داریم. پس اگر $$a$$، $$b$$، $$c$$ اعدادی از این مجموعه باشند، آنگاه ممکن است رابطه ۱ بین آن‌ها قابل بررسی باشد.

    $$\large a = b\times c$$

    رابطه ۱

    در صورتی که این اعداد در رابطه ۱ صدق کنند، در این صورت می‌توانیم منظور از تقسیم $$a$$ بر $$b$$ را پیدا کردن عددی مثل $$c$$ بدانیم که رابطه ۱ برایشان صادق است. در این حال می‌نویسیم:

    $$\large a\div b = c$$

    رابطه ۲

    در این صورت $$a$$‌ را مقسوم، $$b$$ را مقسوم علیه و $$c$$ را خارج قسمت تقسیم می‌نامیم. در نظر داشته باشید که در اینجا $$b$$ و $$c$$ کوچکتر از $$a$$ هستند.

    نکته: توجه داشته باشید که در اینجا $$b$$ باید مخالف صفر باشد زیر از نظر بسیاری از ریاضیدان‌ها، تقسیم عدد بر صفر تعریف نشده یا بی‌معنا است.

    برای مثال اگر $$a=10$$ و $$b=5$$ باشد، آنگاه رابطه 2 مطابق با فرمول زیر نوشته خواهد شد.

    $$\large 10\div 5 = 2$$

    زیرا

    $$\large 10=5\times 2$$

    در این حالت می‌گوییم، اگر ۱۰ را به ۵ تقسیم کنیم، خارج قسمت برابر با ۲ است.

    بنابراین هنگامی که برای اعداد بخواهیم تقسیم را انجام دهیم، شاید استفاده از عمل ضرب مطابق با رابطه 1 مناسب باشد. ولی همیشه نمی‌توان به سرعت و راحتی، عدد $$c$$ را مشخص کرد.

    به تصویر بالا دقت کنید، در اینجا ۲۰ سیب به دسته‌های پنج‌تایی تقسیم شده است. حاصل این تقسیم برابر است با ۴ زیرا ۲۰ سیب را می‌توان به چهار دسته پنج‌تایی تقسیم کرد. به این ترتیب داریم:

    $$\large 20\div 5 =4$$

    زیرا

    $$\large 20=5\times 4$$

    این عبارت را می‌توان به صورت دیگری نیز خواند یا تفسیر کرد. اگر بخواهیم ۲۰ سیب را به چهار دسته تقسیم کنیم، در هر دسته ۵ سیب قرار می‌گیرد. در این حالت خواهیم داشت:

    $$\large 20\div 4 = 5$$

    زیرا

    $$\large 20=4\times 5$$

    از آنجایی که ضرب دارای خاصیت جابجایی است می‌توان با جابجا کردن مقسوم علیه و خارج قسمت با یکدیگر، رابطه ضربی یکسانی نوشت. در نتیجه خواهیم داشت:

    $$\large 20\div 4 = 5$$ و  $$\large 20\div 5 = 4$$

    زیرا

    $$\large 20=4\times 5= 5 \times 4 = 20$$

    مراحل انجام عملیات تقسیم عدد صحیح و محاسبه خارج قسمت

    برای انجام عملیات تقسیم می‌توانیم گام‌هایی را به صورت متوالی انجام دهیم تا به نتیجه یا حاصل تقسیم که همان خارج قسمت است برسیم. این کار بوسیله روش ضرب‌ و تفاضل‌های متوالی صورت می‌گیرد. در ادامه با ذکر مثال‌هایی به این موضوع می‌پردازیم و شیوه اجرای تقسیم را مورد بررسی قرار می‌دهیم. ابتدا گام‌ها را مشخص می‌کنیم.

    برای روشن شدن موضوع به ذکر دو مثال می‌پردازیم.

    مثال 1: فرض کنید که $$a=15$$  و $$b=5$$ باشد. راه حلی که در بالا به آن اشاره کردیم برای تقسیم $$15$$ بر $$5$$ به کار می‌بریم.

    مثال 2: فرض کنید $$a=10$$ و $$b=4$$ باشد. عمل تقسیم را به کمک روند و مراحلی که در ادامه مشخص شده است، تعیین می‌کنیم.

    به این ترتیب مراحل را به صورت زیر برای تقسیم 10 بر ۴ انجام می‌دهیم. واضح است که در اینجا ۱0 مقسوم و ۴ مقسوم علیه است.

    نکته: گاهی ممکن است با اجرای این عملیات و ضرب‌ها و مقایسه‌ها به مقدار دقیق مقسوم نرسیم، در نتیجه به نظر می‌رسد که این تقسیم می‌تواند به شکل دیگری هم ادامه داشته باشد و عملیات تقسیم شامل باقی‌مانده هم باشد.

    تقسیم عدد صحیح همراه با باقیمانده

    همانطور که گفته شد، همیشه با ضرب کردن اعداد صحیح در مقدار مقسوم علیه، به مقسوم نمی‌رسیم. در اینجا موضوع یا مفهوم باقی‌مانده در تقسیم بوجود می‌آید. فرض کنید رابطه زیر بین چهار عدد $$a$$، $$b$$, $$c$$ و $$d$$ وجود داشته باشد.

    $$\large a=b\times c+d$$

    در این حالت $$d$$ را باقی‌مانده تقسیم $$a$$ بر $$b$$ می‌نامیم. به این ترتیب می‌توان نوشت:

    $$\large a \div b = c+\dfrac{d}{b}$$

    توجه داشته باشید که در اینجا هم شرطی برای باقیمانده وجود دارد. در حقیقت اگر تقسیم عدد صحیح به درستی انجام شده باشد، باقیمانده باید از خارج قسمت کوچکتر و همیشه مثبت باشد. در این صورت مراحل انجام تقسیم پایان یافته است.

    برای پیدا کردن باقی‌مانده یک تقسیم، کافی است مراحل گفته شده برای تقسیم را طی کنیم و در آخرین مرحله حاصل ضرب مقسوم علیه در خارج قسمت را از مقسوم کم کنیم. این رابطه به صورت زیر نوشته می‌شود.

    $$\large d= a-b\times c$$

    اغلب در ریاضیات برای نمایش باقی‌مانده از حرف $$r$$ که مخفف Reminder است استفاده می‌کنند. همچنین خارج قسمت تقسیم نیز با حرف $$q$$ نشان داده می‌شود که مخفف Quotient است. در نتیجه داریم:

    $$\large a=b\times q+d , \;\;\;\;r= a-b\times q , \;\;\;a \div b = q+\dfrac{r}{b}$$

    در اینجا هم باید شرط $$r\geq 0 $$ و $$r\leq q$$ وجود داشته باشد.

    تقسیم عدد صحیح چند رقمی

    با روشی که برای انجام عمل تقسیم در قسمت قبل گفتیم، انجام مراحل برای اعداد بزرگ به راحتی صورت نخواهد گرفت ولی می‌توانیم از مفاهیمی که برای تقسیم اعداد تک رقمی در قسمت قبل فراگرفتیم، استفاده کنیم. مراحل انجام عملیات را باز هم به کمک مثال‌هایی در این زمینه تعیین می‌کنیم.

    برای پاسخ به این پرسش، از گام‌های مربوط به تقسیم دو عدد استفاده می‌کنیم ولی این کار را به صورت تکراری برای هر قسمت از مقسوم انجام خواهیم داد و در حاصل خارج قسمت و باقی‌مانده را محاسبه می‌کنیم. گام‌های مربوط به تقسیم کردن اعداد صحیح همراه با باقی‌مانده در ادامه مشخص شده‌اند.

    مثال ۳: حاصل تقسیم 124 بر ۴ چیست؟

    مشخص است که تعداد ارقام مقسوم و مقسوم علیه برای اجرای مراحل تقسیم مهم است. همانطور که دیده می‌شود مقسوم ۳ رقم و مقسوم علیه یک رقمی است. گام‌های گفته شده در بالا را به کار می‌گیریم.

    این گام‌ها توسط تصویر زیر نمایش داده شده‌اند.

    همانطور که دیده می‌شود باقی‌مانده صفر شده و براساس کنار هم قرار گرفتن خارج‌قسمت‌های مراحل مختلف، خارج قسمت تقسیم اصلی، ایجاد شده است.

    مثال 4: حاصل تقسیم 825 بر 24 چیست؟

    این گام‌ها توسط تصویر زیر نمایش داده شده‌اند.

    واضح است که در انتها، ارقام ایجاد شده برای خارج قسمت، به ترتیب از سمت چپ در کنار یکدیگر نوشته شده‌اند تا مقدار ۳۵ به عنوان خارج قسمت ساخته شود. به این ترتیب تقسیم اعداد صحیح به کمک تقسیم و تفاضل‌های تکراری انجام می‌شود.

    نکته: برای تقسیم عدد صحیح، منفی بر مثبت یا مثبت بر منفی و همچنین منفی بر منفی، از قواعد ضرب اعداد علامت دار استفاده می‌کنیم.

    باید به این نکته توجه داشت که در اینجا همیشه باقی‌مانده باید مثبت یا صفر باشد. برای مثال حالت‌های زیر را در نظر بگیرید:

    جمع‌بندی و خلاصه

    در این نوشتار، ابتدا با مفهوم تقسیم عدد صحیح آشنا شدیم و سپس نحوه محاسبه آن را برحسب ضرب و تفریق فرا گرفتیم. همچنین روندهای تکراری برای تقسیم عدد صحیح (بدون ارقام اعشار) را مشخص کردیم. در نوشتارهای بعدی نحوه تقسیم اعشاری و تقسیم در کسرها را نیز مرور کرده و مورد بررسی قرار می‌دهیم.

    در صورتی که به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات پایه علاقه‌مند هستید، آموز‌ش‌های زیر به شما پیشنهاد می‌شوند:

    فیلم‌ های آموزش تقسیم عدد صحیح — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

    فیلم آموزشی مراحل تقسیم عدد صحیح

    فیلم آموزشی تقسیم عدد صحیح همراه با باقیمانده

    فیلم آموزشی تقسیم عدد صحیح چند رقمی

    منبع مطلب : blog.faradars.org

    مدیر محترم سایت blog.faradars.org لطفا اعلامیه سیاه بالای سایت را مطالعه کنید.

    جواب کاربران در نظرات پایین سایت

    مهدی : نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

    میخواهید جواب یا ادامه مطلب را ببینید ؟
    مهدی 6 روز قبل
    0

    نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

    برای ارسال نظر کلیک کنید